نهج المصفوفة التشغيلية القائم على برنولي لمعالجة المعادلات التفاضلية المفردة غير الخطية من الدرجة الثانية
DOI:
https://doi.org/10.31185/bsj.Vol20.Iss32.1351الملخص
يتناول هذا البحث تطبيق طريقة المصفوفات التشغيلية لبرنولي (BOM) في حل المعادلات التفاضلية غير الخطية المفردة من الرتبة الثانية. وعلى خلاف التطبيقات التقليدية للمصفوفات التشغيلية باستخدام متعددات حدود تشيبيشيف أو ليجيندر أو برنشتاين، يركز هذا العمل على كفاءة أساس برنولي في تحقيق دقة عالية باستخدام عدد محدود من الحدود. تعتمد المنهجية على تمثيل الحل بواسطة متعددات برنولي المحوّلة، ثم استخدام المصفوفات التشغيلية للتفاضل والتكامل والضرب لتحويل المعادلة الأصلية إلى نظام جبري يمكن حله عددياً.
تم تنفيذ الطريقة باستخدام لغة بايثون واختبارها على نماذج مرجعية مثل معادلة لان–إمدن. أظهرت النتائج العددية أن استخدام فقط من الحدود يحقق خطأً أعظميًا من رتبة ، مع توافق شبه تام مع الحلول المرجعية. كما أكّد تحليل التقارب الطيفي أن الخطأ ينخفض بسرعة كبيرة عند زيادة وأظهرت المقارنة مع طريقة تشيبيشيف أن أساس برنولي يحقق الدقة نفسها بعدد أقل من الحدود وبجهد حسابي أقل.
تؤكد هذه النتائج أن طريقة المصفوفات التشغيلية لبرنولي تمثل أداة موثوقة وفعالة حسابياً لحل النماذج غير الخطية المفردة، مع إمكانية تطويرها مستقبلاً لتشمل الأنظمة الكسرية والتطبيقات متعددة الأبعاد
