توسيع لطريقة سينك-غاليركين مع تقنية التعامد لحل مسائل القيم الحدودية من الرتبة السادسة

Abstract

المستخلص:

    لا يزال الحل العددي الدقيق لمسائل القيم الحدودية (BVPs) من الرتبة السادسة يمثل تحديًا كبيرًا؛ نظرًا لاشتمالها على مشتقات من رتب عليا واحتمالية وجود نقاط شاذة (singularities) في نطاق الحل. تظهر هذه المسائل بشكل متكرر في مجالات ديناميكا الموائع، ونظرية المرونة، والفيزياء الفلكية. في هذا العمل، نقدم إطارًا عدديًا قويًا وعالي الدقة يعتمد على طريقة سينك-غاليركين (Sinc-Galerkin) لحل مسائل القيم الحدودية الخطية وغير الخطية من الرتبة السادسة.

تتميز الطريقة المقترحة بإدراجها لتقنية تعامد (orthogonalization) منهجية، والتي تحوّل النظام الخطي الناتج، الذي يكون عادةً كثيفًا وغير متماثل، إلى صيغة متماثلة وموجبة التحديد (symmetric positive-definite). يضمن هذا التحويل استقرارية الحسابات ويسهّل عملية إيجاد الحل بكفاءة عبر استخدام تفكيك تشوليسكي (Cholesky factorisation ). علاوة على ذلك، يتم حساب العناصر الأساسية للنظام المتقطع باستخدام تربيع غاوس-ليجاندر (Gauss-Legendre quadrature) ذي الرتبة العالية، مما يساهم في تحقيق الدقة الطيفية (spectral accuracy) الشاملة للطريقة.

   لتقييم أداء الطريقة، قمنا بتطبيقها على مسائل قياسية ذات حلول تحليلية معروفة. أظهرت الدراسات المقارنة مع أحدث الطرق المعتمدة على كثيرات الحدود، مثل طريقة بي-سبلاين بتروف-غاليركين (B-spline Petrov-Galerkin) وطريقة التجميع لليجاندر (Legendre collocation)، أن طريقتنا تحقق دقة فائقة تفوق الطرق الأخرى بعدة مراتب عشرية (orders of magnitude)، خاصة في التقاط الحلول الملساء والمتناقصة أسيًا.

تؤكد النتائج العددية أيضًا معدل التقارب الأسي (exponential convergence rate) النظري لطريقة سينك-غاليركين، والذي يأخذ الصيغة ، حيث يمثل N عدد نقاط التجميع (collocation points) لدالة سينك. إن سلوك التقارب هذا، مقترنًا بعمومية الإطار المقترح، يرسخ هذه الطريقة كأداة فعّالة لحل فئة واسعة من مسائل القيم الحدودية ذات الرتب العليا وبدقة وموثوقية عاليتين.