طيف المتباينات المتساوية الصارمة من الرتبة m على فضاءات هلبرت ذات البُعد المنتهي

الملخص

    في هذا البحث ندرس الخواصّ الطيفيّة للمتباينات المتساوية الصارمة من الرتبة m المؤثّرة على فضاءات هلبرت العقديّة ذات البُعد المنتهي. يُقال للمؤثّر T إنّه متباينة متساوية من الرتبة m إذا حقّق المتطابقة βₘ(T) = 0، ويُسمّى صارمًا إذا حقّقها عند m ولم يحقّقها عند m−1.

نقدّم توصيفًا شاملًا للطيف σ(T)، والطيف النقطيّ σₚ(T)، والطيف النقطيّ التقريبيّ σₐₚ(T)، والطيف المتبقّي σᵣ(T). ونثبت أنّ كلّ قيمة ذاتيّة تقع على دائرة الوحدة، وأنّ المكوّنات الثلاثة للطيف تتطابق بينما ينعدم الطيفان المتبقّي والمتصل.

ونتيجتنا البنيويّة المركزيّة تُصحّح الصورة المتداولة: فلكتلة جوردان Jₖ(λ) مع |λ| = 1، تكون الدالة n ↦ ‖Tⁿx‖² كثيرة حدود من الدرجة 2(k−1)، ومن ثمّ تكون Jₖ(λ) متباينة صارمة من الرتبة 2k−1 (لا k). ويترتّب على ذلك أنّ المتباينات الصارمة في البُعد المنتهي لا توجد إلاّ عند قيم m الفرديّة، وأنّ حجم كلّ كتلة جوردان لا يتجاوز (m+1)/2، وأنّ هذا الحدّ حادّ.

وكمقابل كمّيّ، نضع التقدير الحادّ ذا الحدّين c•k^{(m−1)/2} ≤ ‖Tᵏ‖ ≤ C•k^{(m−1)/2}، ونناقش تطبيقات على النُّظم الديناميكيّة المتقطّعة، والاستقرار الحدّي، وهندسة فضاءات هلبرت. وتُوحّد نتائجنا وتُصحّح عددًا من العبارات الواردة في أدبيّات البُعد المنتهي.

الكلمات المفتاحيّة: المتباينة المتساوية من الرتبة m، المتباينة المتساوية الصارمة من الرتبة m، الطيف، الطيف النقطيّ، فضاء هلبرت، المؤثّرات على الفضاءات ذات البُعد المنتهي، الصورة القياسيّة لجوردان، القيم الذاتيّة، نظريّة المؤثّرات، المتطابقة الكثيرة الحدود