وحدة تحكم استقرار عصبي وصفية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية
DOI:
https://doi.org/10.31185/bsj.Vol23.Iss44.1742الكلمات المفتاحية:
: وحدة التحكم العصبية الوصفية للاستقرار، المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية، خسارة مستوحاة من ليابونوف، تكييف الخطوات الزمنية، شرط كورانت-فريدريكس-لوي (CFL)، اللزوجة الزائفة (الاصطناعية)، معادلة برغر اللزجة، معادلة ألين-كانالملخص
تكمن صعوبة التقنيات العددية المعاصرة في حل المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية (PDEs) في تحقيق التوازن بين الاستقرار والدقة. ولضبط متطلبات الاستقرار ديناميكيًا (مثل قوانين اضمحلال الطاقة وشروط كورانت-فريدريكس-لوي (CFL)) أثناء محاكاة المعادلات، يقترح هذا البحث وحدة تحكم عصبية شبه مستقرة تستخدم الشبكات العصبية. ولتعديل معاملات الحل (مثل حجم الخطوة الزمنية واللزوجة الزائفة) في الوقت الفعلي، نُدمج وحدة تحكم عصبية في أساليب تحديد الخطوات الزمنية الصريحة. ولضمان الاستقرار وتقليل دالة طاقة معينة بشكل رتيب، تُدرّب وحدة التحكم باستخدام خسائر مستوحاة من ليابونوفنُظهر أن الطريقة المقترحة تُجدي نفعًا مع كلٍّ من معادلة ألين-كان ومعادلة برغر اللزجتين. وتُظهر النتائج أن وحدة التحكم العصبية تمنع الخلل العددي وتحافظ على الخاصية النوعية للحل من خلال استقرارها حتى عندما تكون الزيادات الزمنية أعلى من تلك المسموح بها بموجب قيود CFL التقليدية. تُنتج الخاصية الوصفية لوحدة التحكم محاكاة مستقرة وفعالة، مما يسمح لها باستنتاج قيود الاستقرار من حالة المعادلة (مثل المشتقات والطاقة). تفتح هذه الدراسة آفاقًا جديدة لمُحللات PDE العصبية الموثوقة من خلال دمج نظرية الاستقرار التقليدية مع التعلم القائم على البيانات.
المراجع
Bhan, L., Shi, Y., & Krstic, M. (2023). Neural operators for bypassing gain and control computations in PDE backstepping. arXiv preprint, arXiv:2302.14265. doi:10.48550/arXiv.2302.14265
Brandstetter, J., Worrall, D., & Welling, M. (2023). Message Passing Neural PDE Solvers. arXiv preprint, arXiv:2202.03376. doi:10.48550/arXiv.2202.03376
Chu, H., Miyatake, Y., Cui, W., Wei, S., & Furihata, D. (2024). Structure-Preserving Physics-Informed Neural Networks With Energy or Lyapunov Structure. arXiv preprint, arXiv:2401.04986. doi:10.48550/arXiv.2401.04986
Demo, N., Strazzullo, M., & Rozza, G. (2023). An extended physics informed neural network for preliminary analysis of parametric optimal control problems. Computers&Mathematics with Applications, 143, 383-396. doi:10.1016/j.camwa.2023.05.004
Hu, H., & Liu, C. (2025). Guaranteed Neural PDE Boundary Control with Neural Barrier Function. Paper presented at the The Thirteenth International Conference on Learning Representations (ICLR 2025), Singapore.
Karniadakis, G. E., Kevrekidis, I. G., Lu, L., Perdikaris, P., Wang, S., & Yang, L. (2021). Physics-informed machine learning. Nature Reviews Physics, 3(6), 422-440. doi:10.1038/s42254-021-00314-5
Lamarque, M., Bhan, L., Shi, Y., & Krstic, M. (2024). Adaptive neural-operator backstepping control of a benchmark hyperbolic PDE. arXiv preprint, arXiv:2401.07862. doi:10.48550/arXiv.2401.07862
Li, Z., Kovachki, N., Azizzadenesheli, K., Liu, B., Stuart, A., Bhattacharya, K., & Anandkumar, A. (2020). Neural Operator: Learning Maps Between Function Spaces. arXiv preprint, arXiv:2003.03485. doi:10.48550/arXiv.2108.08481
Raissi, M., Perdikaris, P., & Karniadakis, G. E. (2019). Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. Journal of Computational Physics, 378, 686-707. doi:10.1016/j.jcp.2018.10.045
Sanchez-Escalonilla, S., Reyes-Baez, R., & Jayawardhana, B. (2022). Total Energy Shaping with Neural Interconnection and Damping Assignment: Passivity Based Control. arXiv preprint, arXiv:2112.12999. doi:10.48550/arXiv.2112.12999
Sirignano, J., & Spiliopoulos, K. (2018). DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations. Journal of Computational Physics, 375, 1339-1364. doi:10.1016/j.jcp.2018.08.029
Zhang, J., Yang, L., Zhu, Q., & Lin, W. (2024). FESSNC: Fast exponentially stable and safe neural controller. arXiv preprint, arXiv:2405.11406. doi:10.48550/arXiv.2405.11406
التنزيلات
منشور
إصدار
القسم
الرخصة
الحقوق الفكرية (c) 2026 م.م. سحر عبد يبير المديرية العامة لتربية واسط/ثانوية الروضتين للبنات
هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution 4.0 International License.
