توصيف وتحسين مخططات مشاركة الأسرار المثالية باستخدام نظرية الماترويدات الجبرية
DOI:
https://doi.org/10.31185/bsj.Vol22.Iss43.1603الكلمات المفتاحية:
الماترويدات الجبرية، مخططات مشاركة الأسرار المثالية، تفاضلات كاهلر، امتدادات الحقول، هندسة الخاصية p، الامتدادات غير القابلة للفصل تمامًا، متباينة إنجلتون، فضاءات التحقيق، التشفير التوافقي، معيار جاكوبي.الملخص
تُقدّم هذه الورقة توصيفًا جبريًا دقيقًا لمخططات مشاركة الأسرار المثالية، وذلك بتعميم الإطار الخطي الكلاسيكي ليشمل مجال الماترويدات الجبرية المعرّفة على امتدادات الحقول. نُبيّن أن فئة هياكل الوصول التي تقبل مخططًا مثاليًا بمعدل معلومات ρ = 1 متماثلة تماثلًا قانونيًا مع فئة الماترويدات القابلة للتمثيل على امتداد الحقل L/K عبر التبعيات المتسامية والجبرية. وللتغلب على القيود الهندسية التي تفرضها متباينة إنجلتون على التمثيلات الخطية، نُقدّم منهجية بنائية تستخدم وحدة تفاضلات كاهلر كدالة خطية تُحوّل الاستقلال الجبري إلى استقلال في فضاء المتجهات. نُثبت أن أمان أي مخطط يُكافئ عدم تلاشي مُحدد جاكوبي المرتبط بالمجموعات غير المصرح بها في فضاء التحقيق. علاوة على ذلك، نُنشئ صراحةً مخططات مثالية للماترويدات غير الخطية، وتحديدًا ماترويد فاموس، من خلال استغلال خصائص الامتدادات غير القابلة للفصل تمامًا وتماثل فروبينيوس في حقول ذات خاصية موجبة p. تُؤكد هذه الإنشاءات أن قدرة مشاركة الأسرار الجبرية تتجاوز تمامًا قدرة المخططات الخطية، مما يُوفر حلًا بنيويًا كاملًا لمشكلة قابلية التحقيق المثالية من خلال هندسة امتدادات الحقول والمنحنيات الجبرية.
المراجع
[1] Beimel, A., Farràs, O., & Moya, A. (2025, December). Polynomial secret sharing schemes and algebraic matroids. In Theory of Cryptography Conference (pp. 428-461). Cham: Springer Nature Switzerland. https://doi.org/10.1007/978-3-032-12293-3_14
[2] Boege, T. (2025). The entropy profiles of a definable set over finite fields. arXiv preprint arXiv:2502.20355. https://doi.org/10.48550/arXiv.2502.20355
[3] Matera, G. (2025). Entropy approximations of algebraic matroids over finite fields. arXiv preprint arXiv:2509.15348. https://doi.org/10.48550/arXiv.2509.15348
[4] Matúš, F. (2024). Algebraic matroids are almost entropic. Proceedings of the American Mathematical Society, 152(01), 1-6. https://doi.org/10.1090/proc/13846
[5] Beimel, A., Farràs, O., & Lasri, O. (2023, November). Improved polynomial secret-sharing schemes. In Theory of Cryptography Conference (pp. 374-405). Cham: Springer Nature Switzerland. https://doi.org/10.1007/978-3-031-48618-0_13
[6] Beimel, A., Othman, H., & Peter, N. (2021, August). Quadratic secret sharing and conditional disclosure of secrets. In Annual International Cryptology Conference (pp. 748-778). Cham: Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030-84252-9_25
[7] Boneh, D., Boyle, E., Corrigan-Gibbs, H., Gilboa, N., & Ishai, Y. (2023, August). Arithmetic sketching. In Annual International Cryptology Conference (pp. 171-202). Cham: Springer Nature Switzerland. https://doi.org/10.1007/978-3-031-38557-5_6
[8] Jafari, A., & Khazaei, S. (2023). Partial secret sharing schemes. IEEE Transactions on Information Theory, 69(8), 5364-5385. https://doi.org/10.1109/TIT.2023.3265093
[9] Slavov, K. (2023). Nearly sharp Lang–Weil bounds for a hypersurface. Canadian Mathematical Bulletin, 66(2), 654-664. https://doi.org/10.4153/S0008439522000625
[10] Bollen, G. P., Cartwright, D., & Draisma, J. (2022). Matroids over one-dimensional groups. International Mathematics Research Notices, 2022(3), 2298-2336. https://doi.org/10.1093/imrn/rnaa175
[11] Beimel, A., & Farràs, O. (2020, November). The share size of secret-sharing schemes for almost all access structures and graphs. In Theory of Cryptography Conference (pp. 499-529). Cham: Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-030-64381-2_18
[12] Farras, O. (2020). Secret sharing schemes for ports of matroids of rank 3. Kybernetika, 56(5), 903-915. http://dx.doi.org/10.14736/kyb-2020-5-0903
[13] Paskin-Chernivasky, A., & Radune, A. (2019). On polynomial secret sharing schemes. Cryptology ePrint Archive. https://eprint.iacr.org/2019/361
[14] Csirmaz, L. (2020). Secret sharing and duality. Journal of Mathematical Cryptology, 15(1), 157-173. https://doi.org/10.1515/jmc-2019-0045
[15] Kaced, T. (2018). Information inequalities are not closed under polymatroid duality. IEEE Transactions on Information Theory, 64(6), 4379-4381. https://doi.org/10.1109/TIT.2018.2823328
[16] Bollen, G. P., Draisma, J., & Pendavingh, R. (2018). Algebraic matroids and Frobenius flocks. Advances in mathematics, 323, 688-719. https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.11.006
[17] Liu, T., & Vaikuntanathan, V. (2018, June). Breaking the circuit-size barrier in secret sharing. In Proceedings of the 50th Annual ACM SIGACT Symposium on Theory of Computing (pp. 699-708). https://doi.org/10.1145/3188745.3188936
[18] Liu, T., Vaikuntanathan, V., & Wee, H. (2017, July). Conditional disclosure of secrets via non-linear reconstruction. In Annual International Cryptology Conference (pp. 758-790). Cham: Springer International Publishing. https://doi.org/10.1007/978-3-319-63688-7_25
[19] Ben-Efraim, A. (2016). Secret-sharing matroids need not be algebraic. Discrete Mathematics, 339(8), 2136-2145. https://doi.org/10.1016/j.disc.2016.02.012
[20] Berson, J. (2014). Linearized polynomial maps over finite fields. Journal of Algebra, 399, 389-406. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.10.013
التنزيلات
منشور
إصدار
القسم
الرخصة
الحقوق الفكرية (c) 2026 وليد عادل عبد الحسين
هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution 4.0 International License.
